Algebra degli insiemi – Cos’è ed Esempi – Definizioni

L’algebra degli insiemi è un’area di studio, all’interno della matematica e della logica, incentrata sulle operazioni che possono essere eseguite tra gli insiemi.

L’algebra degli insiemi fa parte di ciò che conosciamo come teoria degli insiemi.

Va ricordato che un insieme è il raggruppamento di elementi di diverso tipo, come lettere, numeri, simboli, funzioni, figure geometriche, tra gli altri.

Operazioni con set

Le operazioni principali con gli insiemi sono le seguenti:

  • Unione: L’unione di due o più insiemi contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno di questi insiemi. È indicato dalla lettera U.

A={9,34,57,6,9}

B={10,41,57,9,16}

AU={9,34,57,6,9,10,41,16}

  • Intersezione: L’intersezione di due o più insiemi include gli elementi condivisi da tali insiemi. È indicato con la U(∩ invertita). Esempio:

A={a,r,t,i,c,o}

B={i,n,d,i,c,o}

A∩B={i,c,o}

  • Differenza: La differenza di un insieme dall’altro è uguale agli elementi del primo insieme meno gli elementi del secondo insieme. È indicato con il simbolo o con -. In un altro modo, x ∈ a AB se x ∈ A, ma x ∉ B. Esempio:

A={21,34,56,17,7}

B={78,21,17,36,80}

AB={34,56,7}

  • Complemento: Il complemento di un insieme include tutti gli elementi che non sono contenuti in quell’insieme (ma che appartengono a un altro insieme di riferimento universale). È indicato con l’apice C. Esempio:

A={3,9,12,15,18}

U (Universo)=Tutti i multipli di 3 che sono interi naturali minori di 30.

CA={6,21,24,27}

  • Differenza simmetrica: La differenza simmetrica di due insiemi include tutti gli elementi che si trovano nell’uno o nell’altro, ma non in entrambi contemporaneamente. Cioè, è l’unione degli insiemi meno la loro intersezione. Il suo simbolo è Δ. Esempio:

A={17,81,99,131,65,32}

B={11,54,71,65,99,27}

AΔB={17,81,131,32,11,54,71,27}

  • Prodotto cartesiano: È un’operazione che si traduce in un nuovo insieme, che contiene come elementi le coppie ordinate o tuple (serie ordinate) degli elementi che appartengono a due o più insiemi. Sono coppie ordinate se abbiamo a che fare con due insiemi e tuple se abbiamo più di due insiemi. Esempio:

A={8,15,6,51}

B={x,y}

AxB={(8,x),(8,y),(15,x),(15,y),(6,x),(6,y),(51,x),(51,y) }

BxA={(x,8),(x,15),(x,6),(x,51),(y,8),(y,15),(y,6),(y,51) }

Leggi dell’algebra degli insiemi

Le leggi dell’algebra degli insiemi sono le seguenti:

  • Idempotenza: L’unione o l’intersezione di un insieme con se stesso risulta nello stesso insieme:

XUX=X

X∩X=X

  • Commutativo: L’ordine dei fattori non altera il risultato quando si trova l’unione o l’intersezione di insiemi:

XUY=XUY

X∩Y=X∩Y

  • Distributivo: L’unione di un insieme X, con l’intersezione di altri due insiemi Y e Z, è uguale all’intersezione dell’unione di X e Y, con l’unione di X e Z. Cioè:

XU(Y∩Z)=(XUY)∩(XUZ)

Inoltre, lo stesso vale se invertiamo l’ordine delle operazioni:

X∩(YUZ)=(X∩Y)U(X∩Z)

  • Associativo: I termini di un’operazione di unione o intersezione di più insiemi possono essere raggruppati indistintamente, ottenendo sempre lo stesso risultato:

XU(XUY)=(XUY)UZ

X∩(X∩Y)=(X∩Y)∩Z

  • Legge di Morgan: Il complemento dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione dei loro complementi e il complemento dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione dei loro complementi.

(XUY)C=XC∩YC

(X∩Y)C=XCUYC

  • Legge di differenza: La differenza di un insieme rispetto all’altro è uguale all’intersezione del primo con il complemento del secondo:

(XY)=X∩YC

  • Leggi del complemento:
    • L’unione di un insieme con il suo complemento non è uguale all’insieme universale. XUXC=U
    • L’intersezione di un insieme con il suo complemento è uguale all’insieme nullo o vuoto. X∩XC=∅
    • Il complemento del complemento di un insieme X è uguale all’insieme X. (XC)C=X
    • Il complemento dell’insieme universale è uguale all’insieme nullo o vuoto. XC=∅
    • Il complemento dell’insieme vuoto è uguale all’insieme universale. ∅C=U
  • Leggi di assorbimento:
    • XU(X∩Y)=X
    • X∩(XUY)=X
    • XU(XC∩Y)=XUY
    • X∩(XCUY)=X∩Y

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